تبلیغات
حقیقت ریاضی - تاریخچه ای از توپولوژی جبری

بهار می آید تا بگوید اگر نمی توان همیشه سبز ماند، میشود دوباره سبز شد.

محمد روحی کریمی

جستجو

 

تاریخچه ای از توپولوژی جبری

دوشنبه 4 مرداد 1389   08:39 ق.ظ


نوع مطلب : تاریخ ریاضی ،معرفی ،

ایده های توپولوژی تقریبا در همه شاخه های ریاضیات امروز ارائه می شود.توپولوژی از چندین شاخه مختلف مانند توپولوژی مجموعه نقاط، توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل تشکیل شده است که توپولوژی دیفرانسیل در این بحث سهم کوچکی دارد. ما می خواهیم منشاء رشد مفاهیم توپولوژیکی را در تعدادی از مقاطع تاریخی بررسی کنیم.

شاید اولین کاری که به عنوان شروع توپولوژی شایسته بررسی باشد، حق اویلر است. اویلر در سال 1736 مقاله ای در مورد مسئله پل های کونیکسبرگ تحت عنوان "حل یک مسئله مربوط به هندسه مکان" (Solutio Problematis ad geometrian Situe Pertinentis) را منتشر کرد.

خود تیتر خاطر نشان می کند که اویلر آگاه بود که به نوع متفاوتی از هندسه پرداخته است که در آن فاصله مطرح نبود، مقاله نه تنهانشان می دهد که عبور از هفت پل، با یک بار طی کردن آنها غیر ممکن است بلکه حالت تعمیم یافته این مسئله را نیز نشان میدهد که در زبان امروزی به صورت زیر بیان می شود:

یک گراف مسیری دارد که هر یال آن را دقیقا یک بار طی میکند اگر و تنها اگر دو رأس از درجه فرد داشته باشد.

قدم بعدی در آزادی ریاضیات از اندازه گیری نیز حق اویلر است. او در سال 1750 ی نامه به کریستین گلدباخ نوشت، در آن به بحثی که بین گلدباخ و آن کتابفروش بود اشاره کرده است، و فرمول مشهور اویلر برای یک چند وجهی را استنباط کرد:

V-e+f=2

که در آن V تعداد رأس های چند وجهی، e تعداد یال ها و f تعداد وجه ها است. گرچه ارشمیدس و دکارت به طور گسترده در مورد چند وجهی ها تحقیق کرده بودند ولی جالب است که بدانیم این فرمول به نسبت ساده را آنها کشف نکرده بودند. قبل از اویلر غیر ممکن بوده است که کسی به ویژگی های هندسی بدون اندازه گیری فکر کند.

اویلر در 1752 جزئیات این فرمول را در دو مقاله منتشر کرد، اولین مقاله تصدیق میکند که اویلر نتوانست نتیجه را اثبات کند. اما در مقاله دوم او برهانی اساسی از بررسی قسمت های صلب چهار وجهی به دست داد. اویلر در اثبات هوشمندانه اش بعضی از مسائل را نادیده گرفت و به طور مشخص او فرض کرد که اشکال صلب محدب هستند(اشکال محدب، شکل هایی هستند که اگر هر دو نقطه آن را با یک خط راست به هم وصل کنیم، خط راست کاملا در شکل قرار داشته باشد).

راهی که اویلر با فرمولش برای چند وجهی ها آغاز کرد به وسیله یک ریاضیدان کمتر شناخته شده پیگیری شد. آنتوان جین لولیر (Lhuilier)(1750- 1840)کسی بود که بیش از هم دوره ایهای خود بر روی مسائل مربوط به فرمول اویلر کار کرد. در 1813 لولیر کارمهمی را منتشر کرد. او خاطر نشان کرد که فرمول اویلر برای اشکال صلب که دارای سوراخ هایی در آنها وجود دارد، اشتباه است. اگر جسم صلب g سوراخ داشته باشد لولیر نشان داد که:

V-e+ f=2-g

و این اولین نتیجه در توپولوژی است.

موبیوس در 1856 شرحی بر نوار موبیوس را منتشر کرد. او سعی کرد ویژگی یک سویی نوار موبیوس را در قضیه های جهت ناپذیری شرح دهد. گرچه او فکر میکرد که هر رویه را می توان توسط مثلث های سوپذیر پوشاند ولی او فهمیده بود که این امر در مورد نوار موبیوس امکان پذیر نیست.

جان بندیک لیسینگ(Listing) اولین شخصی بود که ازکلمه توپولوژی استفاده کرد. ایده های توپولوژی لیسینگ در حقیقت شایسته گاوس است گرچه گاوس خودش خواست که هیچ از کارهایش در توپولوژی منتشر نشود. لیسینگ در 1847 یک مقاله نوشت و آن را Vorstudien Zur Topologie نامید. گرچه او پیش از 10 سال از این لغت در مکاتباتش استفاده کرده بود.

لیسینگ در سال 1847 یک مقاله منتشر کرد که چندان مهم نبود و مانند دیگران ایده های خود را در آن بسیار پیچیده معرفی کرد گرچه قبل از آن بسیار ساده بودند ولی در سال 1861 وی یک مقاله بسیار مهم منتشر و در آن، نوار موبیوس را 4 سال قبل از موبیوس شرح داد و مؤلفه های رویه ها و همبندی را در آن بررسی کرد.

منبع: J.J.Oconner and E.F.Robertson, A History of Algebraic Topology برگرفته از سایت www.history.mcs

برای دریافت مقاله کامل این مطلب به صورت  فایل PDF این جا کلیک کنید.


نوشته شده توسط : محمد روحی کریمی