تبلیغات
حقیقت ریاضی - شمارش

بهار می آید تا بگوید اگر نمی توان همیشه سبز ماند، میشود دوباره سبز شد.

محمد روحی کریمی

جستجو

 

شمارش

چهارشنبه 25 اسفند 1389   12:03 ب.ظ


نوع مطلب : معرفی ،

در ترکیبیات، شمارش مطالعه تعداد دفعاتی است که اشیاء در چیدمان مختلف قرار میگیرند. اشیاء به وسیله قانون هایی که روابط هم ارزی نامیده می شوند، شمرده و چیده می شوند. یک روش برای شمردن یک مجموعه از اشیاء به این صورت است که بپرسیم " به چه تعداد روش متفاوت می توان اشیاء را چید؟"

هر تغییر در چیدمان اصلی یک جایگشت نامیده می شود. به طور مثال، تغییر ترتیب آهنگ هایی که روی یک سی پلیر خوانده می شود یک جایگشت از ترتیب معمولی آن آهنگ ها خواهد بود. اگر فقط دو آهنگ روی CD باشد، آنگاه فقط دو ترتیب وجود دارد، خواندن آهنگ به ترتیب معمولی و یا در معکوس آن. یعنی اول آهنگ دوم و بعد آهنگ اول خوانده شود.

با سه آهنگ روی CD، بیشتر از دو روش برای خواندن آهنگ ها وجود خواهد داشت. در کل شش روش برای گوش کردن به سه آهنگ وجود دارد. در این حالت گرچه با تلاش مستقیم می توان ترتیب های مختلفی را که در ترکیبات متفاوت به وجود می آید به دست آورد ولی اگر تعداد آهنگ ها 20 تا یا بیشتر باشد آنگاه رویکرد مستقیم چندان مناسب نخواهد بود!!! آزمایش چیدمان های مختلف ممکن است زمان زیادی را بگیرد و ما می دانیم که ممکن است همه چیدمان ها به آسانی یافت نشوند.

ترکیبیات، روش های چیدمان را به وسیله فرمول های عمومی که یافت شدند و روش هایی که وابسته به نوع ویژه ای از حالات بودند، فرمول بندی می کند. قدرت ترکیبیات مانند تمامی ریاضیات، توانایی انتزاع یک نکته از مسئله پیچیده ای است که نمی توان آن را طور مستقیم حل کرد. ترکیبیات یک مسئله طبیعی را در یک روش بازگشتی خلاصه می کند. به مثال CD با سه آهنگ نگاه کنید. به جای نوشتن همه چیدمان ها به منظور یافتن تعداد چیدمان های موجود، فرض کنید چیدمان پایان یافته است و بپرسید " برای آهنگ اول در یک چیدمان جدید چند انتخاب وجود دارد؟" جواب هر سه آهنگ است. بنابراین برای آهنگ دوم، دو انتخاب وجود دارد. به این خاطر که یک آهنگ از قبل انتخاب شده است. فقط یک انتخاب برای آخرین آهنگ موجود است. بنابراین سه انتخاب برای آهنگ اول ضرب در دو انتخاب برای آهنگ دوم ضرب در یک انتخاب برای آخرین آهنگ، شش چیدمان مختلف برای آهنگ را پدید می آورد. با ادامه این روش، تعداد جایگشت ها برای هر مجموعه از هر اندازه از اشیاء را میتوان یافت.

مثال دیگر برای یک جایگشت، بر زدن یک دسته ورق بازی است. در هر دسته ورق 52 کارت وجود دارد. سؤال این است که تعداد روش هایی که می توان کارت ها را بر زد چندتاست؟ بعد از بازکردن یک دسته جدید کارت، ترتیب اصلی کارت ها دیده می شود. همه دل ها، پیک ها، گیشنیز و خشت ها کنار هم قرار دارند و در نوع نیز، کارت ها به ترتیب اعداد چیده شده اند. برای یافتن تعداد روش هایی که می توان کارت ها را بر زد، با این حرکت شروع می کنیم که هر یک از 52 کارت می تواند در جایگاه نخست قرار گیرد. جایگاه بعدی می تواند توسط 51 کارت دیگر پرشود پس 51 انتخاب وجود دارد و اگر این روش را ادامه دهیم در نهایت !52 انتخاب برای برزدن خواهیم داشت. 

برای مطالعه بیشتر به این لینک مراجعه کنید


نوشته شده توسط : محمد روحی کریمی